6 信号的矢量空间¶

6.1 基本概念¶

1-范数：信号的作用强度（信号作用对时间的累积）

2-范数：信号的能量

\(\infty\)-范数：信号的幅度/峰值

对于能量无限大的信号，功率定义为：

\[ \lim_{T\to\infty}\frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}|x(t)|^2\,\mathrm{d}t \]

功率的平方根：方均根值（rms）

平均值/直流分量：

\[ \lim_{T\to\infty}\frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}x(t)\,\mathrm{d}t \]

内积性质的例子：

\[ \begin{align*} \left\langle x,y \right\rangle &= \int_{-\infty}^{\infty} x(t)y^*(t)\,\mathrm{d}t \\ \left\langle x,y \right\rangle &= \left\langle y,x \right\rangle ^* \\ \left\langle x,x \right\rangle &= ||x||_2^2 \\ |\left\langle x,y \right\rangle|^2 &\leqslant \left\langle x,x \right\rangle \cdot \left\langle y,y \right\rangle \end{align*} \]

6.2 正交函数分解¶

对于两个矢量 \(x,y\) ，用 \(cy\) 逼近 \(x\) ，误差最小的为：

\[ c=\frac{\left\langle x,y \right\rangle}{\left\langle y,y \right\rangle} \]

推广到函数，在区间 \(t_1<t<t_2\) 内用 \(f_2(t)\) 近似表示 \(f_1(t)\) ，也即 \(f_1(t)\approx c_{12}f_2(t)\) .

方均误差（误差的方均值）：

\[ \overline{\varepsilon^2}=\frac{1}{t_2-t_1} \int_{t_1}^{t_2}[f_1(t)-c_{12}f_2(t)]^2\,\mathrm{d}t \]

方均误差最小（对 \(c_{12}\) 的二阶导为0），有：

\[ c_{12}=\frac{\left\langle f_1(t),f_2(t) \right\rangle}{\left\langle f_2(t),f_2(t) \right\rangle} =\frac{\int_{t_1}^{t_2} f_1(t)f_2(t)\,\mathrm{d}t}{\int_{t_1}^{t_2} f_2^2(t)\,\mathrm{d}t} \]

正交的等价条件为：

\[ \int_{t_1}^{t_2} f_1(t)f_2(t)\,\mathrm{d}t=0 \]

对于复变量函数，上面条件变为：

\[ c_{12}=\frac{\left\langle f_1(t),f_2(t) \right\rangle}{\left\langle f_2(t),f_2(t) \right\rangle} =\frac{\int_{t_1}^{t_2} f_1(t)f_2^*(t)\,\mathrm{d}t}{\int_{t_1}^{t_2} f_2(t)f_2^*(t)\,\mathrm{d}t} \]

6.3 完备正交函数集、帕塞瓦尔定理¶

帕塞瓦尔方程：

\[ \int_{t_1}^{t_2} f^2(t)\,\mathrm{d}t=\sum_{r=1}^{\infty}c_r^2K_r \]

一个信号的功率等于它在完备正交函数集中各分量的功率之和。这体现了正交函数的范数不变性 / 内积不变性。

6.4 相关¶

功率信号与能量信号¶

对于能量信号，能量有限：

\[ \begin{align*} E &= \int_{-\infty}^{\infty} |f(t)|^2\,\mathrm{d}t \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} f^2(t)\,\mathrm{d}t\quad(\text{real\ variable}) \end{align*} \]

对于功率信号，能量无限，平均功率有限：

\[ \begin{align*} P &= \lim_{T\to\infty} \int_{-T/2}^{T/2}|f(t)|^2 \,\mathrm{d}t \\ &= \lim_{T\to\infty} \int_{-T/2}^{T/2} f^2(t) \,\mathrm{d}t\quad(\text{real\ variable}) \end{align*} \]

有些信号既不属于能量信号，也不属于功率信号，比如 \(f(t)=\mathrm{e}^t\) 。

对于能量信号，有相关系数（类似于矢量的夹角）：

\[ \rho_{12}=\frac{\left\langle f_1,f_2 \right\rangle}{||f_1||_2 \cdot ||f_2||_2} \]

与卷积的比较¶

相关与卷积的关系：卷积要“反褶 + 移位 + 积分”，相关仅为“移位 + 积分”，不需要反褶。

\[ R_{12}(\tau) = f_1(t)*f_2(t) \\ R(\tau) = f(t)*f(-t) \]

对于实偶函数，卷积和相关结果相同。

能量谱和功率谱¶

能谱：能量信号，自相关函数在0处的取值 = 时域 \(f^2(t)\) 覆盖的面积 = 频域 \(|F_1(f)|^2\) 覆盖的面积，时域能量等于频域能量：

\[ R(0)=\int_{-\infty}^{\infty}f^2(t)\,\mathrm{d}t =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|F(\omega)|^2\,\mathrm{d}\omega =\int_{-\infty}^{\infty}|F_1(f)|^2\,\mathrm{d}f \]

定义能量谱密度/能谱，反映了单位带宽内的能量：

\[ \begin{align*} \mathcal{E}(\omega) &= |F(\omega)|^2 \\ \mathcal{E}(\omega) &= \mathcal{F}[R(\tau)] \\ E &= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}\mathcal{E}(\omega)\,\mathrm{d}\omega =\int_{-\infty}^{\infty}\mathcal{E}_1(\omega)\,\mathrm{d}\omega \end{align*} \]

自相关函数和能谱函数是一对 Fourier 变换对。

功率谱：

\[ \begin{align*} \mathcal{P}(\omega) &= \lim_{T\to\infty}\frac{|F_T(\omega)|^2}{T} \\ \mathcal{P}(\omega) &= \mathcal{F}[R(\tau)] \\ P &= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\mathcal{P}(\omega)\,\mathrm{d}\omega \end{align*} \]

维纳-欣钦定理：自相关函数和功率谱函数是一对 Fourier 变换对。

注意，能量信号和功率信号的自相关函数单位不同，因此能量谱和功率谱的单位也不同，相差一个时间单位。

线性系统的自相关函数与能量谱、功率谱¶

在频域，我们有：

能量信号： \(\mathcal{E}_r(\omega)=|H(\mathrm{j}\omega)|^2 \cdot \mathcal{E}_e(\omega)\) .

功率信号： \(\mathcal{P}_r(\omega)=|H(\mathrm{j}\omega)|^2 \cdot \mathcal{P}_e(\omega)\) .

变换到时域，二者共同有： \(R_r(\tau)=R_e(\tau)*R_h(\tau)\) .

6.5 匹配滤波器¶

从接收信号中检测是否存在我们想要得到的有用信号 \(s(t)\) ，直观想法是使有用信号 \(s(t)\) 增强，同时抑制噪声 \(n(t)\) . 信号和噪声同时进入滤波器，如果在某段时间内信号 \(s(t)\) 存在，滤波器的输出在相应的瞬间出现强大的峰值。

有用信号 \(s(t)\) 持续时间有限，为 \(0 \sim T\) ，则匹配滤波器的冲激响应为 \(h(t)=ks(t_m-t)\) .

由于系统因果可实现要求 \(t_m\geqslant T\) ，且观察时间 \(t_m\) 尽可能小，因此取 \(t_m=T\) ，取系数 \(k\) 为1，得到 \(h(t)=s(T-t)\) .

输出为 \(s_o(t)=s(t)*h(t)=s(t)*s(T-t)=R_{ss}(t_T)\) .

匹配滤波器相当于对 \(s(t)\) 进行自相关运算，在 \(t=T\) 的时刻取得自相关函数的峰值，峰值大小等于信号 \(s(t)\) 的能量 \(E\) ，且仅与能量有关，与波形无关。

自相关函数的峰值在原点取到： \(R_{ss}(0)\geqslant R_{ss}(\tau)\) ，并且等于信号的能量，有时差之后取值会减少。