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7 泊松过程

写在前面：人生就是一个泊松过程。

人生就是等待的艺术，泊松过程就是一个等待的艺术。我们需要用非常理性的观点看待这件事情，因为你只有充分地等待，你才能迎来时机，你只有主动地等待，你才能抓住时机。你要想跃升一定是要抓住机会的，而你为什么能抓得住，并不是天上的馅饼会掉到你脑袋上，你需要非常主动地等待、非常积极地去等待。恰如咱们同学现在所做的事情——你现在为什么坐在这里，你不就是为了等考试吗？等考试有两种等法：一种是坐以待毙，“所有的考试都来吧”；另一种是有目的、有意识、有方法、有手段地去等待考试，我相信我一定能够在开始中发挥出我的水平，能够用考试去检验我这一个学期学习的效果，我能够通过考试来证明“我应该是一个爷们”，我能够去克服困难，我可以在电子系四年学习当中最忙的一个学期、最多课程的情况下，仍然取得让我能够满意、让我能够对得起天对得起地、对得起父母对得起乡亲的成绩。无论你未来是要继续深造，还是走向工作岗位，总之当你完成下一次跃升之后，一定又是一段或长或短时间的等待。把握住这段等待，你才能更有机会获得下一次跃升。这就是我们所说的“人生就是一个泊松过程”。以后大家区别于没有学过《随机过程》的人，你对人生的感悟一定比他高，因为你知道什么是泊松过程。[^1]

齐次 Poisson 过程

如果一个计数过程 \(\{N(t)\}\) 满足：

  1. 在 \(t=0\) 时刻计数归零，即 \(N(0)=0\) .
  2. \(\{N(t)\}\) 是独立增量过程。
  3. \(\{N(t)\}\) 是平稳增量过程。由此可推出 \(P(N(t_0+t)-N(t_0)=n)=P(N(t)=n)\) .
  4. 稀疏性： \(P(N(t+\Delta t)-N(t)-1)=\lambda\Delta t+o(\Delta t),\;P(N(t+\Delta t)-N(t)\geqslant 2)=o(t)\) ，即一小短时间内事件几乎不可能发生多次。

称该过程为齐次泊松过程（简称为泊松过程）， \(\lambda>0\) 称为强度参数。

Note

回顾满足泊松分布的随机变量 \(X\sim\text{Poisson}(\lambda)\) ，概率分布为 \(P(X=k)=\dfrac{\lambda^k}{k!}\mathrm{e}^{-\lambda}\) .

泊松过程的概率分布为 \(P(N(t)=n)=\dfrac{(\lambda t)^n}{n!}\mathrm{e}^{-\lambda t},\quad t\geqslant 0,\;n=0,1,2,\cdots\) 。满足归一化条件 \(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}P(N(t)=n)=1\) .

如果固定时间 \(t\) ，则随机变量 \(N(t)\) 代表 \(0\sim t\) 时间内计数次数，且满足泊松分布 \(\sim\text{Poisson}(\lambda t)\) .


泊松过程的数字特征：

\[ \begin{align*} \mathrm{E}(N(t))&=\lambda t, \quad \mathrm{Var}(N(t))=\lambda t \\ R_N(t_1,t_2)&=\mathrm{E}(N(t_1)N(t_2))=\lambda^2t_1t_2+\lambda\min(t_1,t_2) \\ C_N(t_1,t_2)&=\lambda\min(t_1,t_2) \end{align*} \]

由上式也可以看出参数 \(\lambda=\dfrac{\mathrm{E}(N(t))}{t}\) 表示单位时间内事件发生的平均次数，即代表了强度/速率。

泊松过程的特征函数和矩母函数分别为：

\[ \begin{align*} \phi_{N(t)}(\omega)&=\mathrm{E}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega N(t)}\right)=\exp[\lambda t(\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega}-1)] \\ G_{N(t)}(z)&=\mathrm{E}\left(z^{N(t)}\right)=\exp[\lambda t(z-1)] \end{align*} \]

Tip

泊松过程的矩母函数非常重要，不同类型泊松过程的矩母函数形式不同，可作为我们判断泊松过程类型的依据。

事件时间问题

将泊松过程计数事件的发生时刻记为 \(S_n,\;n=0,1,2,\cdots\) ，且 \(S_0=0\) .

相邻事件发生的间隔为 \(T_n=S_n-S_{n-1},\;n=1,2,\cdots\) .

根据关系 \(P(S_n\leqslant t)=P(N(t)\geqslant n)\) ，得到 \(S_n\) 的累积分布函数(CDF)为 $F_{S_n}=P(S_n

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