12 系统的状态变量分析¶

状态/状态变量/状态矢量：一个动态系统的状态是表示系统的一组最少变量，只需知道 \(t=t_0\) 时刻这组变量和 \(t\geqslant t_0\) 时刻以后的输入，就能确定系统在 \(t\geqslant t_0\) 时刻以后的行为。

引入状态变量的目的：使用中间变量表示每相邻阶输入输出的关系，可以把一元 \(N\) 阶方程转换为 \(N\) 元一阶方程，每一阶都用状态变量表示，相邻阶的中间变量之间是一阶关系。

算子 \(p\) 是微分运算，算子 \(\dfrac{1}{p}\) 是积分运算。算子表达式就是关于积分和微分环节的组合。

12.1 连续时间系统状态方程的建立¶

状态方程与输出方程分别为：

\[ \begin{align*} \dot{\mathbf{\lambda}}(t)&=\mathbf{A\lambda}(t)+\mathbf{Be}(t) \\ \mathbf{r}(t)&=\mathbf{C\lambda}(t)+\mathbf{De}(t) \end{align*} \]

对于 LTI 系统， \(\mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C},\mathbf{D}\) 矩阵是常数；对于时变系统 \(\mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C},\mathbf{D}\) 矩阵是时间的函数。

状态方程的建立方法：

（1）由电路图建立（电路课重点，非本课重点）。

（2）由系统输入输出方程或信号流图建立状态方程。对于与给定的系统，流图的形式可以不同，状态变量的选择不唯一， \(\mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C},\mathbf{D}\) 矩阵也不唯一。

由算子表达式分解或系统函数建立状态方程。部分分式展开 \(H(p)=\displaystyle\sum\dfrac{\beta_i}{p+\alpha_i}\) ，由基本单元串联、并联、级联组装。

基本单元：

12.2 连续时间系统状态方程的求解¶

Laplace 变换解法（较为容易）¶

时域解法¶

12.3 根据状态方程求转移函数¶

12.4 离散时间系统状态方程的建立¶

同连续时间系统的形式，用差分代替微分。

\[ \begin{align*} \mathbf{\lambda}(n+1)&=\mathbf{A\lambda}(n)+\mathbf{Bx}(n) \\ \mathbf{y}(n)&=\mathbf{C\lambda}(n)+\mathbf{Dx}(n) \end{align*} \]

（看典型结构示意图）

由定义建立。由框图或流图建立。

12.5 离散时间系统状态方程的求解¶

时域迭代法求解¶

z 变换求解¶

12.6 状态矢量的线性变换¶

选择不同的状态矢量可以得到不同的 \(\mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C},\mathbf{D}\) 矩阵，各状态矢量之间存在某种约束，矩阵 \(\mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C},\mathbf{D}\) 之间存在某种变换关系。

具体细节略。

判断系统的稳定性：

12.7 系统的可控性和可观性¶

可控性 (Controllability)：给定起始状态，可以找到容许的输入量 (控制矢量)，在有限时间内把系统的所有状态引向零状态。如果可做到这点，则称系统完全可控。

可观性 (Observability)：给定输入 (控制) 后，能在有限时间内根据系统输出唯一地确定系统的起始状态。如果可做到这点，则称系统完全可观。

判别方法：

利用可控阵和可观阵判定：

A 矩阵规范化之后判别。（略）

可控可观与转移函数的关系：

留意一下串联、并联、级联可能发生零极点相消，导致系统不可控不稳定就行。