第12章 系统的状态变量分析

状态 / 状态变量 / 状态矢量：一个动态系统的状态是表示系统的一组最少变量，只需知道 $t=t_0$ 时刻这组变量和 $t\geqslant t_0$ 时刻以后的输入， 就能确定系统在 $t\geqslant t_0$​ 时刻以后的行为。

引入状态变量的目的：相当于使用中间变量表示输入输出，可以把一元 N 阶方程转换为 N 元一阶方程，每一阶都用状态变量表示，相邻阶的中间变量之间是一阶关系。

算子 $p$ 是微分运算，算子 $1/p$​ 是积分运算。算子表达式就是关于积分和微分环节的组合。

1. 连续时间系统状态方程的建立

状态方程与输出方程分别为：

$$\dot{\boldsymbol{\lambda}}(t)=\boldsymbol{A\lambda}(t)+\boldsymbol{Be}(t) \\ \boldsymbol{r}(t)=\boldsymbol{C\lambda}(t)+\boldsymbol{De}(t)$$

对于 LTI 系统，ABCD 矩阵是常数，而对于时变系统 ABCD 矩阵是时间的函数。

（看典型结构示意图）

由电路图建立（电路课重点，非本课重点）。

由系统输入输出方程或信号流图建立状态方程。对于与给定的系统，流图的形式可以不同，状态变量的选择不唯一， ABCD 矩阵也不唯一。

由算子表达式分解或系统函数建立状态方程。部分分式展开 $H(p)=\sum\frac{\beta_i}{p+\alpha_i}$​ ，由基本单元串联、并联、级联组装。

基本单元：

2. 连续时间系统状态方程的求解

Laplace 变换解法（较为容易）

写不动了，直接上图：

时域解法

写不动了，直接上图：

3. 根据状态方程求转移函数

写不动了，直接上图：

4. 离散时间系统状态方程的建立

同连续时间系统的形式，用差分代替微分。

$$\boldsymbol{\lambda}(n+1)=\boldsymbol{A\lambda}(n)+\boldsymbol{Bx}(n) \\ \boldsymbol{y}(n)=\boldsymbol{C\lambda}(n)+\boldsymbol{Dx}(n)$$

（看典型结构示意图）

由定义建立。由框图或流图建立。

5. 离散时间系统状态方程的求解

时域迭代法求解

写不动了，直接上图：

z 变换求解

写不动了，直接上图：

6. 状态矢量的线性变换

选择不同的状态矢量可以得到不同的 ABCD 矩阵，各状态矢量之间存在某种约束，矩阵 ABCD 之间存在某种变换关系。

具体细节略。

判断系统的稳定性：

7. 系统的可控性和可观性

可控性 (Controllability)：给定起始状态，可以找到容许的输入量 (控制矢量)，在有限时间内把系统的所有状态引向零状态。如果可做到这点，则称系统完全可控。

可观性 (Observability)：给定输入 (控制) 后，能在有限时间内根据系统输出唯一地确定系统的起始状态。如果可做到这点，则称系统完全可观。

判别方法：

利用可控阵和可观阵判定：

A 矩阵规范化之后判别。（略）

可控可观与转移函数的关系：

留意一下串联、并联、级联可能发生零极点相消，导致系统不可控不稳定就行。

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