6 信号的矢量空间¶
6.1 基本概念¶
1-范数：信号的作用强度（信号作用对时间的累积）
2-范数：信号的能量
\(\infty\)-范数：信号的幅度/峰值
对于能量无限大的信号，功率定义为：
\[ \lim_{T\to\infty}\frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}|x(t)|^2\,\mathrm{d}t \]
功率的平方根：方均根值（rms）
平均值/直流分量：
\[ \lim_{T\to\infty}\frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}x(t)\,\mathrm{d}t \]
内积性质的例子：
\[ \begin{align*} \left\langle x,y \right\rangle &= \int_{-\infty}^{\infty} x(t)y^*(t)\,\mathrm{d}t \\ \left\langle x,y \right\rangle &= \left\langle y,x \right\rangle ^* \\ \left\langle x,x \right\rangle &= ||x||_2^2 \\ |\left\langle x,y \right\rangle|^2 &\leqslant \left\langle x,x \right\rangle \cdot \left\langle y,y \right\rangle \end{align*} \]
6.2 正交函数分解¶
对于两个矢量 \(x,y\) ，用 \(cy\) 逼近 \(x\) ，误差最小的为：
\[ c=\frac{\left\langle x,y \right\rangle}{\left\langle y,y \right\rangle} \]
推广到函数，在区间 $t_1