8 z 变换、离散时间系统的 z 域分析¶

8.1 z 变换的定义¶

抽样信号的 Laplace 变换：

\[ \begin{align*} X_s(s)&=\sum_{n=0}^{\infty} x(nT)e^{-snT},\quad z=e^{sT},\quad s=\frac{1}{T}\ln z \\ T&=1 \implies X(z)=\sum_{n=0}^{\infty} x(n)z^{-n} \end{align*} \]

也可以由洛朗级数引出（~~又到了最喜欢的复变~~）。

单边 \(z\) 变换：

\[ X(z)=\mathcal{Z}[x(n)]=\sum_{n=0}^{\infty} x(n)z^{-n} \]

双边 \(z\) 变换：

\[ X(z)=\mathcal{Z}[x(n)]=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)z^{-n} \]

\(z\in\mathbb{C}\) 为复变量。因果信号的单边与双边 \(z\) 变换相同。

查表：附录5 序列的 z 变换表。

8.2 z 变换的收敛域(ROC)¶

不同序列的 \(z\) 变换可能相同。如 \(a^nu(n),\;a^nu(-n-1)\) .

每一个 \(z\) 变换式要标注 ROC。在 ROC 内 \(z\) 变换函数解析，因此 ROC 内不会有极点。有理函数以 ROC 以极点为边界。

收敛的充分条件是绝对可和： \(\displaystyle\sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)z^{-n}<\infty\) ，回忆级数收敛的判定方法——比值判定和根植判定：

\[ \begin{align*} &\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\rho \\ &\lim_{n\to\infty} \left|\sqrt[n]{|a_n|}\right|=\rho \end{align*} \]

\(\rho<1\) 收敛， \(\rho>1\) 发散， \(\rho=1\) 不确定。

（课本 P53，表8-1）对于双边 \(z\) 变换，序列的 ROC：

有限长序列：几乎为整个平面。

（1）原点左右均有， \(0<|z|<\infty\) .

（2）原点及其右边， \(0<|z|\) .

（3）原点及其左边， \(|z|<\infty\) .

有限长序列，求和范围里有 \(n>0\) 的项，ZT 中会含有 \(\dfrac{1}{z}\) ，因此 ROC 不包含 \(z=0\) .

求和范围里有 \(n<0\) 的项，ZT 中会含有 \(z\) 的乘方，因此 ROC 不包含 \(z=\infty\) .
右边序列：圆外（ \(z\) 要足够大，抑制序列的增长）。

（1）包含原点，有原点左边的部分（非因果）， \(R_{x1}<|z|<\infty\) .

（2）原点及其右边（因果）， \(R_{x1}<|z|\) .
左边序列：圆内（ \(\dfrac{1}{z}\) 要足够大，抑制序列的增长）。

（1）包含原点，有原点右边的部分， \(0<|z|<R_{x2}\) .

（2）原点及其左边， \(z<R_{x2}\) .
双边序列：圆环， \(R_{x1}<|z|<R_{x2}\) .

8.3 逆 z 变换¶

定义式（可以救急用）：

\[ x(n)=\mathcal{Z}^{-1}[X(z)] =\frac{1}{2\pi \mathrm{j}}\oint_C X(z)z^{n-1}\mathrm{d}z \]

积分路径 \(C\) 是包含 \(X(z)z^{n-1}\) 所有极点的逆时针闭合曲线，通常选择 \(z\) 平面收敛域内以原点为中心的圆。

围线积分法（留数法）：一般不用。

幂级数展开法（长除法）：一般不用。

部分分式展开法：常用，简单。

\[ X(z)=\frac{N(z)}{D(z)}=\frac{b_0+b_1z+\cdots+b_{r-1}z^{r-1}+b_rz^r}{a_0+a_1z+\cdots+a_{k-1}z^{k-1}+a_kz^k} \]

因果序列的 \(z\) 变换 ROC 在圆外，为保证在无穷远处收敛，分母多项式阶次应不小于分子多项式。

大多数情况 \(X(z)\) 下只有一阶极点，将 \(\dfrac{X(z)}{z}\) 展开为 \(\dfrac{z}{z-z_m}\) 的形式：

\[ \begin{align*} \frac{X(z)}{z} &= \sum_{m=0}^K \frac{A_m}{z-z_m} \\ X(z) &= \sum_{m=0}^K \frac{A_m z}{z-z_m}=A_0+\sum_{m=1}^K \frac{A_m z}{z-z_m} \\ A_m &= \mathrm{Res}\left[\frac{X(z)}{z}\right]_{z=z_m}=\left[(z-z_m)\frac{X(z)}{z}\right]_{z=z_m} \\ A_0 &= \left[X(z)\right]_{z=0}=\frac{b_0}{a_0} \end{align*} \]

如果有高阶极点：

\[ \begin{align*} X(z)&=A_0+\sum_{m=1}^M \frac{A_m z}{z-z_m}+\sum_{j=1}^s \frac{B_j z}{(z-z_i)^j} \\ X(z)&=A_0+\sum_{m=1}^M \frac{A_m z}{z-z_m}+\sum_{j=1}^s \frac{C_j z^j}{(z-z_i)^j} \\ C_s&=\left[\left(\frac{z-z_i}{z}\right)^sX(z)\right]_{z=z_i} \end{align*} \]

Tip

部分分式展开要多练习。

查表：课本P61，表8-2 逆 \(z\) 变换表。

8.4 z 变换的性质¶

查表：课本 P74，表8-5 \(z\) 变换的主要性质。

（1）线性。

（2）时移特性。

对于双边 \(z\) 变换，位移只会使 \(z\) 变换在 \(z=0\) 或 \(z=\infty\) 的零极点情况发生变化。若 \(x(n)\) 为双边序列，ROC 为圆环，位移不会改变 ROC。

对于单边 \(z\) 变换，分左移和右移两情况。左移需要把将要移到左边的那部分减掉，右移需要把原来“藏”在左边的部分加上来。对因果序列也有特殊讨论。

（3）序列线性加权， \(z\) 域微分。

（4）序列指数加权， \(z\) 域尺度变换。

（5）初值定理。

（6）终值定理。要求 \(n\to\infty\) 的时候序列 \(x(n)\) 收敛，也就是 \(X(z)\) 的极点在单位圆内，或者 \(z=+1\) 点处的一阶极点。

（7）时域卷积， \(z\) 域相乘。一般情况下新序列 ROC 为二者 ROC 的重叠部分，但是有可能 ROC 边缘发生零极点相消，使 ROC 扩大。

（8）序列相乘， \(z\) 域卷积。（不要求）

（9）尺度变换性质，这个在郑版教材和件中均未提及。但是2020年期末考试中出过这样一道题： \(x(2n+1)\) 的双边 \(z\) 变换。

我们可以直接推导：

\[ \begin{align*} X(z)&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)z^{-n} \\ X(z^{\frac{1}{T}})&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)z^{-\frac{n}{T}} \\ &=\sum_{m=-\infty}^{\infty}x(mT)z^{-m} \\ &=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT)z^{-n} \\ \implies \mathcal{Z}[x(nT)]&=X(z^{\frac{1}{T}}) \end{align*} \]

8.5 z 变换与 Laplace 变换的关系¶

ZT 和 LT 表达式的对应：可以直接由 LT 表达式写出 ZT 表达式：

\[ \frac{A_i}{s-p_i} \implies \frac{A_i}{1-e^{p_iT}z^{-1}}=\frac{A_iz}{z-e^{p_iT}} \]

用这个可以推导出正弦序列的 \(z\) 变换。

在某些点发生跳变似乎要单独讨论......但这似乎不重要。

\(z\) 平面与 \(s\) 平面的映射关系：（ \(T\) 为序列的时间间隔）

\[ \begin{align*} z&=e^{sT},\; s=\frac{1}{T}\ln z \\ \omega_s&=\frac{2\pi}{T},\quad s=\sigma+\mathrm{j}\omega,\quad z=re^{\mathrm{j}\theta} \\ \implies r&=e^{\sigma T}=e^{2\pi\sigma/\omega_s} ,\quad \theta =\omega T=2\pi\frac{\omega}{\omega_s} \end{align*} \]

\(s\) 平面的虚轴对应 \(z\) 平面单位圆，右半平面映射到单位圆外，左半平面映射到单位圆内。

\(s\) 平面的实轴对应 \(z\) 平面正实轴， \(s\) 平面平行于实轴的直线对应 \(z\) 平面始于原点的射线，且通过 \(\mathrm{j}\dfrac{k\omega_s}{2}\) 的平行于实轴的直线对应 \(z\) 平面的负实轴。

\(s\) 平面沿虚轴移动， \(z\) 平面上绕单位圆周期旋转。每平移 \(\omega_s\) ，沿单位圆绕一圈，因此一个 \(z\) 值对应多个 \(s\) 值。

查表：课本 P80，表8-7 常用信号的 LT 与 ZT。

8.6 利用 z 变换解差分方程¶

幂级数展开（长除法）、卷积定理（分解为相乘形式，在时域卷积）、留数法（不用）。

8.7 离散系统的系统函数¶

单位样值响应与系统函数¶

LTI 系统，单位样值响应 \(h(n)\) 与系统函数 \(H(z)\) 是一对 \(z\) 变换对：

\[ \begin{align*} Y(z)&=H(z)X(z) \\ y(n)&=h(n)*x(n) \\ H(z)&=\mathcal{Z}[h(n)]=\sum_{n=0}^{\infty}h(n)z^{-n} \end{align*} \]

可以根据系统函数的零极点分布确定单位样值响应。

展开为部分分式：

\[ \begin{align*} h(n) &= \mathcal{Z}[H(z)]=\mathcal{Z}^{-1}\left[ \sum_{k=0}^N\frac{A_k z}{z-p_k} \right] \\ &= \mathcal{Z}^{-1}\left[ A_0+\sum_{k=1}^N\frac{A_k z}{z-p_k} \right] \\ &= A_0\delta(n)+\sum_{k=1}^N A_k(p_k)^n u(n) \end{align*} \]

极点 \(p_k\) 一般以共轭复数形式出现。可见 \(h(n)\) 的特性取决于 \(H(z)\) 的极点，幅度由系数 \(A_k\) 决定，而系数 \(A_k\) 由 \(H(z)\) 的零点分布有关。与 LT 类似， \(H(z)\) 的极点决定 \(h(n)\) 的波形特征，零点只影响 \(h(n)\) 的幅度和相位。

“大圆图”，课本 P86。

z 域考察离散时间系统的因果性和稳定性¶

系统稳定的充要条件是单位样值响应 \(h(n)\) 绝对可和：

\[ \begin{gather*} \sum_{n=-\infty}^{\infty}|h(n)|<M \\ H(z)\big|_{z=1}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}h(n) \end{gather*} \]

因此稳定系统的系统函数 ROC 包含单位圆在内。

系统因果的条件： \(h(n)=h(n)u(n)\) ， \(z\) 变换的 ROC 为圆外且包含无穷远点。

综上，因果稳定的系统应该同时满足：

\[ \begin{cases} a<|z|<\infty \\ a<1 \\ \end{cases} \]

这也限制了所有极点都在单位圆内。

8.8 离散时间傅里叶变换(DTFT)¶

离散时间傅里叶变换(Discrete Time Fourier Transform)定义为：单位圆上的 \(z\) 变换。注意与离散傅里叶变换 DFT 完全不同！

定义和收敛条件¶

\[ \begin{align*} z &= e^{\mathrm{j}\omega} \\ \mathrm{DTFT}[x(n)] &= X(e^{\mathrm{j}\omega})=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)e^{-\mathrm{j}\omega n} \\ \mathrm{IDTFT}[X(e^{\mathrm{j}\omega})] &= x(n)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X(e^{\mathrm{j}\omega})e^{\mathrm{j}\omega n}\,\mathrm{d}\omega \end{align*} \]

又有：

\[ X(e^{\mathrm{j}\omega})=|X(e^{\mathrm{j}\omega})|e^{\mathrm{j}\varphi(\omega)} =\mathrm{Re}[X(e^{\mathrm{j}\omega})]+\mathrm{j}\,\mathrm{Im}[X(e^{\mathrm{j}\omega})] \]

称 \(X(e^{\mathrm{j}\omega})\) 为序列 \(x(n)\) 的频谱， \(|X(e^{\mathrm{j}\omega})|\) 为幅度谱， \(\varphi(\omega)\) 为相位谱。

由于 \(\omega\) 沿单位圆旋转， \(X(e^{\mathrm{j}\omega})\) 是以 \(2\pi\) 为周期的周期函数。

时域是离散的，频域是连续的。

DTFT 存在的充分条件：序列 \(x(n)\) 绝对可和。其存在的必要条件至今未找到（FT 也如此）。

基本性质¶

线性。
时域位移。
频域位移。
线性加权，频域微分。
反褶。
奇偶虚实性，参照 FT。
时域卷积，频域卷积。
帕塞瓦尔定理：能量守恒。
共轭： \(x^*(n)\iff X^*(e^{-\mathrm{j}\omega})\) . 因此对于实函数： \(X(e^{\mathrm{j}\omega})=X^*(e^{-\mathrm{j}\omega})\) .

8.9 离散时间系统的频率响应¶

由系统函数 \(H(z)\) 到频率响应 \(H(e^{\mathrm{j}\omega})\) ，回忆连续时间系统的系统函数 \(H(s)\) 到频率响应 \(H(\mathrm{j}\omega)\) .

连续时间系统的特征函数是 \(e^{st}=e^{\mathrm{j}\omega t}\) ，输入信号为 \(e^{\mathrm{j}\omega t}\) 的情况下输出信号为：

\[ \begin{align*} x(t)=e^{\mathrm{j}\omega t} &\implies y(t)=|H(\mathrm{j}\omega)|e^{\mathrm{j}(\omega t+\varphi)} \\ x(t)=\sin(\omega t) &\implies y(t)=|H(\mathrm{j}\omega)|\sin(\omega t+\varphi) \\ x(t)=\cos(\omega t) &\implies y(t)=|H(\mathrm{j}\omega)|\cos(\omega t+\varphi) \end{align*} \]

离散时间系统的频响函数为：

\[ H(e^{\mathrm{j}\omega})=\sum_{n=-\infty}^{\infty} h(n)e^{-\mathrm{j}\omega n} \]

离散时间系统特征函数为： \(z^{n}=e^{\mathrm{j}\omega n}\) ，对复指数序列 / 正弦序列激励的稳态响应为：

\[ \begin{align*} x(n)=e^{\mathrm{j}\omega n} &\implies y_{ss}(n)=|H(e^{\mathrm{j}\omega})|e^{\mathrm{j}(\omega n+\varphi)} \\ x(n)=\sin(n\omega) &\implies y_{ss}(n)=|H(e^{\mathrm{j}\omega})|\sin(n\omega+\varphi) \end{align*} \]

离散信号中频率 \(\omega\) 和 \(\omega+2k\pi\) 是不可区分的： \(\sin((\omega+2k\pi)n+\varphi)=\sin(\omega n+\varphi)\) .

频率响应 \(H(e^{\mathrm{j}\omega})\) 和单位样值响应 \(h(n)\) 是一对 Fourier 变换对。

频率响应 \(H(e^{\mathrm{j}\omega})\) 为周期函数，周期为 \(\omega_s=\dfrac{2\pi}{T}\) .

判定频率响应特性，只需关注一个周期 \((0,\omega_s)\) 内的情况。

如果为实系数， \(|H(e^{\mathrm{j}\omega})|\) 为偶函数， \(\varphi(\omega)\) 为奇函数，也只需要关注半个周期 \(\left(0,\dfrac{\omega_s}{2}\right)\) 内的情况。 \(0\) 和 \(\omega_s\) 是最低频， \(\dfrac{\omega_s}{2}\) 是最高频，以此来判断低通/高通/带通/带阻/全通的系统特性。

频率响应的几何确定法：

画图，长度乘除决定幅度特性，夹角加减决定相位特性。

幅度响应靠近极点处出现峰点，靠近零点处出现谷点。 \(z=0\) 处的零极点只影响相位响应，不影响幅度响应。

8.10 z 变换应用实例¶

数字式自激振荡器：

\[ \begin{align*} h(n)=\cos(n\omega)u(n) \\ h(n)=\sin(n\omega)u(n) \end{align*} \]

结构上改进：使用中间信号 \(W(z)\) 实现结构复用，系统可同时产生 \(\sin(\cdot)\) 和 \(\cos(\cdot)\) 信号。

数字滤波器：

原理：输入的连续信号 \(x(t)\) 频带受限 \(-\omega_m\sim\omega_m\) ，抽样间隔满足奈奎斯特抽样频率 \(\omega_s=\dfrac{2\pi}{T}\geqslant2\omega_m\) .

冲激不变法设计数字滤波器（低通）：

根据 ZT 和 LT 的关系，由模拟域到数字域，直接改写式子：

\[ \begin{align*} H(s)&=\mathcal{L}[h(t)]=\sum \frac{A_i}{s-p_i} \\ \implies H(z)&=\mathcal{Z}[h(n)]=\sum \frac{A_i}{1-e^{p_iT}z^{-1}} \end{align*} \]

要求频率响应 \(H(\mathrm{j}\omega)\) 在 \(0\sim \dfrac{\omega_s}{2}\) 内衰减足够快。

优点：简单，便于与模拟滤波器直接对应。

缺点： \(s\) 与 \(z\) 的多值对应关系可能引起混叠，不能用于设计高通和带阻滤波器。